Uopšteno govoreći, konvergencija po tačkama ne implicira konvergenciju u mjeri. Međutim, za prostor sa konačnom mjerom, to je istina, a zapravo ćemo vidjeti u ovom dijelu da je mnogo više istinito.
Da li konvergencija skoro svuda implicira konvergenciju u mjeri?
Prostor mjere u pitanju je uvijek konačan jer mjere vjerovatnoće dodjeljuju vjerovatnoću 1 cijelom prostoru. U prostoru sa konačnom mjerom, gotovo svugdje konvergencija implicira konvergenciju u mjeri. Stoga skoro konvergencija implicira konvergenciju u vjerojatnosti.
Da li konvergencija u tački implicira kontinuitet?
Iako je svaki fn kontinuiran na [0, 1], njihova tačkasta granica f nije (nekontinuirana je na 1). Dakle, konvergencija po tačkama, općenito, ne čuva kontinuitet.
Da li konvergencija u L1 implicira konvergenciju po tačkama?
Dakle, konvergencija u tačkama, uniformna konvergencija i L1 konvergencija ne impliciraju jedno drugo. Međutim, imamo nekoliko pozitivnih rezultata: Teorema 7 Ako je fn → f u L1, onda postoji podniz fnk takav da je fnk → f u tački a.e.
Šta je konvergencija u teoriji mjere?
U matematici, tačnije teoriji mjere, postoje različiti pojmovi konvergencije mjera. Za intuitivni opći osjećaj šta se podrazumijeva pod konvergencijom u mjeri, razmotriteniz mjera μ na prostoru, dijeleći zajedničku kolekcijumjerljivih skupova.