Prva teorema koju Pugh dokazuje nakon što definira Riemannov integral je da integrabilnost implicira ograničenost. Ovo je Teorema 15 na strani 155 u mom izdanju. Ovo pokazuje da se prvo treba složiti oko definicija.
Da li Riemann integrabilan podrazumijeva ograničeno?
Teorema 4. Svaka Riemannova integrabilna funkcija je ograničena.
Jesu li neograničene funkcije integrativne?
Neograničena funkcija nije Riemannova integrabilna. U nastavku, “integrabilan” će značiti “Riemann integrabilan, a “integralni” će značiti “Riemann-ov integral” osim ako nije eksplicitno drugačije navedeno. f(x)={ 1/x ako je 0 < x ≤ 1, 0 ako je x=0. tako da gornji Rimanovi zbroji od f nisu dobro definisani.
Je li Lebesgueova integrabilna funkcija ograničena?
Merljive funkcije koje su ograničene su ekvivalentne Lebesgue integrabilnim funkcijama. Ako je f ograničena funkcija definirana na mjerljivom skupu E sa konačnom mjerom. Tada je f mjerljivo ako i samo ako je f integrabilno po Lebesgueu. … S druge strane, mjerljive funkcije su "skoro" kontinuirane.
Kako znate da li je funkcija integrabilna po Lebesgueu?
Ako su f, g funkcije takve da f=g skoro svuda, tada je f integrabilno po Lebesgueu ako i samo ako je g integrabilno po Lebesgueu, a integrali f i g su isto ako postoje.