Neka je P silovska p-podgrupa od G. … Ako je G jednostavno, onda ima 10 podgrupa reda 3 i 6 podgrupa reda 5. Međutim, pošto su ove grupe sve ciklične osnovnog reda, bilo koji netrivijalni element G je sadržan u najviše jednoj od ovih grupa.
Jesu li P grupe ciklične?
Trivijalna grupa je jedina grupa reda jedan, a ciklička grupa C p je jedina grupa reda p.
Jesu li podgrupe ciklične?
Teorema: Sve podgrupe cikličke grupe su ciklične. Ako je G=⟨a⟩ cikličan, onda za svaki djelitelj d od |G| postoji tačno jedna podgrupa reda d koja može biti generisana pomoću a|G|/d a | G | / d. Dokaz: Neka je |G|=dn | G |=d n.
Jesu li P Sylow podgrupe normalne?
Ako G ima tačno jednu Sylow p-podgrupu, mora biti normalno iz Jedinstvene podgrupe datog naloga je Normalno. Pretpostavimo da je silovska p-podgrupa P normalna. Tada je jednako svojim konjugatima. Dakle, prema Trećoj silovskoj teoremi, može postojati samo jedna takva silovska p-podgrupa.
Da li su složne P-podgrupe Abelove?
Dokazujemo da su silovske p-podgrupe konačne grupe G abelove ako i samo ako su veličine klasa p-elemenata grupe G koprimečne sa p, i, ako je p ∈ { 3, 5 }, stepen svakog nesvodivog karaktera u glavnom p-bloku G je koprost sa p.