Metrička kompletnost prostora ne čuva homeomorfizam.
Šta homeomorfizam čuva?
Homeomorfizam, koji se naziva i kontinuirana transformacija, je odnos ekvivalencije i korespondencija jedan prema jedan između tačaka u dvije geometrijske figure ili topoloških prostora koja je kontinuirana u oba smjera. Homeomorfizam koji takođe čuva udaljenosti naziva se izometrija.
Da li homeomorfizam čuva kompaktnost?
3.3 Svojstva kompaktnih prostora
Ranije smo primetili da je kompaktnost topološko svojstvo prostora, to jest očuvano je homeomorfizmom. Čak štoviše, sačuvan je bilo kojom kontinuiranom funkcijom.
Da li je potpunost topološka osobina?
Kompletnost nije topološko svojstvo, tj. ne može se zaključiti da li je metrički prostor potpun samo gledanjem u osnovni topološki prostor.
Zašto ograničenost nije topološka osobina?
Za metričke prostore imamo pojam ograničenosti: to je metrički prostor omeđen ako postoji neki realan broj M takav da je d(x, y) ≤ M za sve x, y. Ograničenost nije topološko svojstvo. Na primjer, (0, 1) i (1, ∞) su homeomorfni, ali jedan je ograničen, a jedan nije. ∞ n=1 je niz tačaka u X.