Napomena: istina je da svaki ograničeni niz sadrži konvergentni podniz, i nadalje, svaki monotoni niz konvergira ako i samo ako je ograničen. Dodato Pogledajte unos o teoremi monotone konvergencije za više informacija o zagarantovanoj konvergenciji ograničenih monotonskih nizova.
Da li se svaki ograničeni niz konvergira u R?
Teorema kaže da svaki ograničeni niz u R ima konvergentnu podniz. Ekvivalentna formulacija je da podskup od R je sekvencijalno kompaktan ako i samo ako je zatvoren i omeđen. Teorema se ponekad naziva teorema sekvencijalne kompaktnosti.
Da li je svaki ograničeni niz realnih brojeva konvergentan?
Odgovor i objašnjenje: (a) Da li je svaki ograničeni niz konvergentan? Ne.
Da li se svaki ograničeni monotoni niz konvergira?
Nisu svi ograničeni nizovi, kao (−1)n, konvergiraju, ali ako bismo znali da je ograničeni niz monoton, onda bi se ovo promijenilo. ako je an ≥ an+1 za sve n ∈ N. Niz je monoton ako raste ili opada. i ograničen, onda konvergira.
Da li svi ograničeni nizovi imaju konvergentni podniz?
Bolzano-Weierstrass teorem: Svaki ograničeni niz u Rn ima konvergentni podniz. od {xmk } je ograničeni niz realnih brojeva, tako da i on ima konvergentni podniz, … Obrnuto, svaki ograničeni niz je uzatvoren i ograničen skup, tako da ima konvergentnu podniz.
